Hướng dẫn soạn thảo công thức toán học với Latex ( phần 2 ): Toán Tử, Hàm Số và Lượng Giác

1, Toán tử nhị phân

Một số toán tử nhị phân cũng có thể được sử dụng như toán tử đơn , chẳng hạn như +, −, v.v.

Khoảng cách giữa các ký hiệu này sẽ được điều chỉnh tự động cho phù hợp.

Ví dụ: trong biểu thức, khoảng cách giữa dấu “−” và số 1 nhỏ hơn so với khoảng cách giữa “−” và 2, để đảm bảo cách trình bày toán học trông chính xác và dễ đọc hơn.

Lệnh	Ký hiệu	Mô tả
+	+	Dấu cộng
-	−	Dấu trừ
\pm	±	Cộng trừ – dùng trong phương trình có hai nghiệm ±
\mp	∓	Trừ cộng – đối nghịch với ±
a / b	a⁄b	Phép chia viết dạng phân số đơn giản
\nicefrac{3}{4}	¾	Phân số nhỏ gọn trong dòng chữ
\div	÷	Dấu chia
\divides	∣	Ký hiệu “chia hết”
\sqrt{}	√□	Căn bậc hai
\sqrt[]{}	⎷□	Căn bậc n (ví dụ: \sqrt[3]{x} là căn bậc ba của x)
\surd{}	√	Biểu tượng căn gốc
\intercal	⊺	Ký hiệu chuyển vị ma trận
\dotplus	∔	Cộng có chấm
\doublebarwedge	⩞	Toán tử logic hoặc ký hiệu Boolean
\divideontimes	⨰	Dấu nhân-chia kết hợp
\times	×	Dấu nhân
\cdot	·	Dấu chấm nhân
*	*	Dấu sao – thay thế cho nhân trong văn bản
\ast	∗	Dấu sao toán học
\star	★	Ngôi sao
\ltimes	⋉	Tích nửa trực tiếp bên trái
\rtimes	⋊	Tích nửa trực tiếp bên phải
\rightthreetimes	⋌	Tích ba bên phải
\leftthreetimes	⋋	Tích ba bên trái
\circ	∘	Toán tử hợp , ví dụ: f ∘ g
\bullet	•	Dấu chấm đậm
\centerdot	·	Dấu chấm ở giữa
\boxminus	⊟	Ô trừ – toán tử đặc biệt trong logic
\boxplus	⊞	Ô cộng – dùng trong đại số tuyến tính
\boxtimes	⊠	Ô nhân – biểu diễn tích tensor
\boxdot	⊡	Ô chấm – ký hiệu logic đặc biệt
\ominus	⊖	Trừ trong vòng tròn
\oplus	⊕	Cộng trong vòng tròn – dùng trong phép cộng trực tiếp
\otimes	⊗	Nhân trong vòng tròn – tích tensor
\odot	⊙	Nhân có chấm trong vòng tròn
\circleddash	⊝	Trừ có gạch trong vòng tròn
\circledast	⊛	Sao trong vòng tròn
\circledcirc	⊚	Vòng tròn kép
\oslash	⊘	Chia trong vòng tròn

2, Hàm số

Lệnh	Ký hiệu	Mô tả
\exp	exp	Hàm mũ
\ln	ln	Logarit tự nhiên
\log	log	Logarit thông thường
\lg	lg	Logarit cơ số 2
\lb	lb	Logarit cơ số 2
\ker	ker	Hạt nhân của ánh xạ tuyến tính
\det	det	Định thức của ma trận
\arg	arg	Góc của số phức hoặc vectơ
\dim	dim	Số chiều của không gian vector
\gcd	gcd	Ước chung lớn nhất
\argmin	arg min	Giá trị đạt cực tiểu
\oslash	⊘	Chia trong vòng tròn

3, Công thức lượng giác

Lệnh		Ký hiệu	Mô tả
\degree	°		Dấu độ
^\circ	°		Dấu độ (viết bằng lũy thừa)
\ang{}	°		Ký hiệu góc
\arcsin	arcsin		Hàm sin nghịch đảo
\arccos	arccos		Hàm cos nghịch đảo
\arctan	arctan		Hàm tan nghịch đảo
\cos	cos		Hàm cos
\sin	sin		Hàm sin
\tan	tan		Hàm tan
\cot	cot		Hàm cotang
\sec	sec		Hàm secant
\csc	csc		Hàm cosecant
\cosh	cosh		Hàm cos hyperbolic (cosh)
\sinh	sinh		Hàm sin hyperbolic (sinh)
\tanh	tanh		Hàm tan hyperbolic (tanh)
\coth	coth		Hàm cot hyperbolic (coth)

4, Các hàm lượng giác khác

Lệnh	Ký hiệu	Mô tả
\arctg	arctg	Hàm tang nghịch đảo
\arcctg	arcctg	Hàm cotang nghịch đảo
\ch	ch	Hàm cos hyperbolic
\ctg	ctg	Hàm cotang
\cth	cth	Hàm cot hyperbolic
\cotg	cotg	Hàm cotang
\cosec	cosec	Hàm cosecant
\sh	sh	Hàm sin hyperbolic
\tg	tg	Hàm tang
\th	th	Hàm tan hyperbolic

5, Các giới hạn

Lệnh	Ký hiệu	Mô tả
\max	max	Giá trị lớn nhất
\min	min	Giá trị nhỏ nhất
\sup	sup	Cận trên
\inf	inf	Cận dưới
\lim	lim	Giới hạn
\liminf	lim inf	Giới hạn dưới
\limsup	lim sup	Giới hạn trên
\varlimsup	̅lim	Giới hạn trên có ký hiệu gạch ngang
\varliminf	̲lim	Giới hạn dưới có ký hiệu gạch dưới
\injlim	inj lim	Giới hạn trực tiếp
\varinjlim	lim→	Giới hạn truyền

6, Phép chiếu và Phép chia lấy dư

Lệnh	Ký hiệu	Mô tả
Phép Chiếu
\Pr	Pr	Phép chiếu (projection)
\hom	hom	Ánh xạ đồng cấu (homomorphism)
\varprojlim	lim ←	Giới hạn nghịch
\projlim	proj lim	Giới hạn chiếu (projective limit)
Phép chia lấy dư
n \pmod{3}	n (mod 3)	Biểu thức đồng dư trong ngoặc, ví dụ: “n ≡ 1 (mod 3)”
n \bmod 3	n mod 3	Biểu thức đồng dư không có ngoặc, ví dụ: “n mod 3 = 1”

Để định nghĩa một hàm tùy chỉnh, hãy sử dụng lệnh \operatorname{}:
tên của hàm sẽ được hiển thị bằng phông chữ đứng (upright font) và có khoảng cách chuẩn xác như các hàm toán học mặc định.

Tìm hiểu thêm các phần khác:

Phần 1: Mathzone, Textzone trong LaTex
Phần 2: Toán, Hàm số, Lượng giác

Phần 3: Toán Tử

Phần 4: Mũi tên

Phần 5: Dấu mũ

Phần 6: Các phép so sánh

Phần 7: Các tập hợp số

Phần 8: Các kí tự thường gặp

Phần 9: Dấu ngoặc

Phần 10: Dấu câu và các hình

Phần 11: Chữ cái Hy Lạp

Phần 12: Công Thức Vật Lý và Hoá Học

Về VFiMeet

VFiMeet là nền tảng lớp học online, họp trực tuyến và làm việc nhóm do đội ngũ Việt Nam phát triển, phù hợp cho giảng viên, trung tâm đào tạo, nhóm làm việc và doanh nghiệp.

Hệ thống hỗ trợ lớp học tương tác, họp nhóm ổn định, quản lý người dùng và nội dung, có thể triển khai linh hoạt theo mô hình cloud, hybrid hoặc on-premise nhằm đảm bảo bảo mật và tự chủ dữ liệu, đồng thời tích hợp AI hỗ trợ phiên âm, tóm tắt và điều hành cuộc họp.

👉 Tìm hiểu thêm về hệ sinh thái VFiMeet: